Question

20．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E、F分别是棱BC、CC₁的中点，Q是侧面BCC₁B₁内一点，若A₁Q∥平面AEF，则点Q的轨迹为（　　）

• A． 一个点
• B． 两个点
• C． 一条线段
• D． 两条线段

Answer 1

分析 分别取棱BB₁、B₁C₁的中点M、N，连接MN，先证明平面A₁MN∥平面AEF，由此能求出点Q的轨迹．

解答 解：如图所示：分别取棱BB₁、B₁C₁的中点M、N，连接MN，连接BC₁，
∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC₁，EF∥BC₁，
∴MN∥EF，又MN?平面AEF，EF?平面AEF，
∴MN∥平面AEF；
∵AA₁∥NE，AA₁=NE，∴四边形AENA₁为平行四边形，
∴A₁N∥AE，又A₁N?平面AEF，AE?平面AEF，
∴A₁N∥平面AEF，
又A₁N∩MN=N，∴平面A₁MN∥平面AEF，
∵Q是侧面BCC₁B₁内一点，且A₁Q∥平面AEF，
∴Q必在线段MN上，∴点Q的轨迹为线段MN．
故选：C．

点评 本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找Q点位置．