Question

17．数列{a_n}满足a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）2ⁿ+1，n∈N^*．
（1）求a₃的值；
（2）若对n∈N^*，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的通项公式b_n和前n项和T_n；
（3）令c₁=b₁，c_n=$\frac{{T}_{n-1}}{n}$+（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$…+$\frac{1}{n}$）b_n（n≥2）证明：数列{c_n}的前n项和S_n满足S_n＜2+2lnn．

Answer 1

分析 （1）利用数列的递推关系，即可求a₃的值；
（2）利用作差法求出数列{a_n}的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求数列{b_n}的前 n项和T_n；
（3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式．

解答 解：（1）∵a₁+2a₂+…na_n=（n-1）2ⁿ+1，n∈N⁺．
∴a₁=1，1+2a₂=4+1=5，
解得a₂=2，
1+2×2+3a₃=2×8+1=17，解得a₃=4；
（2）∵a₁+2a₂+…+na_n=（n-1）2ⁿ+1，n∈N⁺．
∴a₁+2a₂+…+（n-1）a_n-1=（n-2）2^n-1+1，n∈N⁺．
两式相减得na_n=（n-1）2ⁿ+1-[（n-2）2^n-1+1]=n•2^n-1，n≥2，
则a_n=2^n-1，n≥2，
当n=1时，a₁=1也满足，
∴a_n=2^n-1，n≥1，b_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1，
则数列{b_n}的前 n项和T_n=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=2-2^1-n．
（3）证明：c₁=b₁=1，c_n=$\frac{{T}_{n-1}}{n}$+（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$…+$\frac{1}{n}$）b_n（n≥2），
∴c₁=b₁，c₂=$\frac{{b}_{1}}{2}$+（1+$\frac{1}{2}$）b₂，b₃=$\frac{{b}_{1}+{b}_{2}}{3}$+（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$）b₃，
∴c_n=$\frac{{b}_{1}+{b}_{2}+…+{b}_{n-1}}{n}$+（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）b_n，
∴S_n=c₁+b₂+…+c_n=（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）b₁+（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）b₂+…+（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）b_n
=（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）（b₁+b₂+…+b_n）=（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）T_n
=（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）（2-2^1-n）＜2×（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$），
设f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，x＞1，
则f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$．
即f（x）在（1，+∞）上为增函数，
∵f（1）=0，即f（x）＞0，
∵k≥2，且k∈N^•时，$\frac{k}{k-1}$＞1，
∴f（$\frac{k}{k-1}$）=ln$\frac{k}{k-1}$+$\frac{1}{\frac{k}{k-1}}$-＞0，即ln$\frac{k}{k-1}$＞$\frac{1}{k}$，
∴$\frac{1}{2}$＜ln$\frac{2}{1}$，$\frac{1}{3}$＜ln$\frac{3}{2}$，…，$\frac{1}{n}$＜ln$\frac{n}{n-1}$，
即$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＜ln$\frac{2}{1}$+ln$\frac{3}{2}$+…+ln$\frac{n}{n-1}$=lnn，
∴2×（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）＜2+2lnn，
即S_n＜2（1+lnn）=2+2lnn

点评 本题主要考查数列通项公式以及前n项和的计算，以及数列和不等式的综合，利用作差法求出数列的通项公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力，综合性较强，难度较大．