Question

7．方程$\sqrt{（x-6）^{2}+{y}^{2}}$-$\sqrt{（x+6）^{2}+{y}^{2}}$=8表示的曲线是$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{20}$=1，（x≤-4）．

Answer 1

分析 由双曲线定义得方程$\sqrt{（x-6）^{2}+{y}^{2}}$-$\sqrt{（x+6）^{2}+{y}^{2}}$=8表示的曲线是以F₁（-6，0），F₂（6，0）为焦点，以8为实轴的双曲线的左支．

解答 解：方程$\sqrt{（x-6）^{2}+{y}^{2}}$-$\sqrt{（x+6）^{2}+{y}^{2}}$=8表示平面上到两定点F₂（6，0），F₁（-6，0）的距离之差为8的点的集合，
∵|F₁F₂|=12＞8，
∴方程$\sqrt{（x-6）^{2}+{y}^{2}}$-$\sqrt{（x+6）^{2}+{y}^{2}}$=8表示的曲线是以F₁（-6，0），F₂（6，0）为焦点，以8为实轴的双曲线的左支，
∴a=4，c=6，b²=36-16=20，
∴双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{20}$=1，（x≤-4）．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{20}$=1，（x≤-4）．

点评 本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线定义的合理运用．