Question

19．直线l：y=2x+1与抛物线y²=2px（p＞0）交于A、B两点，若|AB|=$\sqrt{15}$，则抛物线的焦点到直线l的距离为$\frac{7\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 直线l：y=2x+1与抛物线y²=2px联立，可得4x²+（4-2p）x+1=0，利用|AB|=$\sqrt{15}$，求出p，可得抛物线的焦点，即可得出结论．

解答 解：直线l：y=2x+1与抛物线y²=2px联立，可得4x²+（4-2p）x+1=0，
∵|AB|=$\sqrt{15}$，
∴$\sqrt{1+4}$•$\sqrt{（-\frac{4-2p}{4}）^{2}-4×\frac{1}{4}}$=$\sqrt{15}$，
∴p=6，
∴抛物线的焦点（3，0）到直线l的距离为$\frac{7}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{7\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{7\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．