Question

13．已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=qa_n+$\frac{n}{（-2）^{n}}$（n∈N^*）
（1）若a₁，a₂，a₃成等比数列，求实数q的值；
（2）若|q|≤1，求证：|a_n|＜3．

Answer 1

分析 （1）由递推公式求出前三项，a₁，a₂，a₃成等比数列，利用等比数列性质能求出实数q的值．
（2）由已知|a_n+1|≤${a}_{n}+\frac{n}{{2}^{n}}$，从而${a}_{n}≤1+\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$，由此利用错位相减法以证明|q|≤1时，|a_n|＜3．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=qa_n+$\frac{n}{（-2）^{n}}$（n∈N^*），
∴${a}_{2}=q-\frac{1}{2}$，${a}_{3}=q（q-\frac{1}{2}）+\frac{1}{2}$，
∵a₁，a₂，a₃成等比数列，
∴$（q-\frac{1}{2}）^{2}=1×[q（q-\frac{1}{2}）+\frac{1}{2}]$，
解得q=-$\frac{1}{2}$
∴实数q的值为-$\frac{1}{2}$．
证明：（2）∵a₁=1，a_n+1=qa_n+$\frac{n}{（-2）^{n}}$（n∈N^*），|q|≤1，
∴|a_n+1|≤${a}_{n}+\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴${a}_{n}≤1+\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$，①
$\frac{1}{2}$a_n≤$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+\frac{3}{{2}^{4}}+…+\frac{n-1}{{2}^{n}}$，②
①-②：$\frac{1}{2}{a}_{n}$≤1+$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n-1}{{2}^{n}}$
=1+$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-2}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n-1}{{2}^{n}}$
=1+$\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n-1}}-\frac{n-1}{{2}^{n}}$，
∴a_n≤3-$\frac{2n+2}{{2}^{n}}$＜3．
∴|q|≤1时，|a_n|＜3．

点评 本题考查实数值的求法，考查数列的第n项的绝对值小于3的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和错位相减法的合理运用．