Question

3．已知直线l过点（0，-1），且点（1，-3）到l的距离为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，求直线l的方程，并求出坐标原点到直线l的距离．

Answer 1

分析 由点（0，-1）是直线在y轴截距，设直线y=kx-1即kx-y-1=0，由点到直线的距离公式求出k的值，则直线l的方程可求，把原点的坐标直接代入点到直线的距离公式进行运算，则答案可求．

解答 解：点（0，-1）是直线在y轴截距，
∴设直线y=kx-1即kx-y-1=0，点（1，-3）到直线距离为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
则$\frac{|k+3-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，解得：k=$\frac{1}{7}$或k=1．
∴直线l的方程为x-7y-7=0或x-y-1=0．
坐标原点到直线x-7y-7=0的距离为d=$\frac{|-7|}{\sqrt{{1}^{2}+（-7）^{2}}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
坐标原点到直线x-y-1=0的距离为d=$\frac{|-1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴坐标原点到直线l的距离为：$\frac{7\sqrt{2}}{10}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查点到直线的距离公式的应用，要注意先把直线的方程化为一般式，是基础题．