Question

15．2015年10月4日，强台风“彩虹”登录广东省湛江市，“彩虹”是1949年以来登陆中国陆地的最强台风，“彩虹”给湛江市人民带来了巨大的财产损失，湛江市教育局调查了湛江市50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，作出频率分布直方图，并向全市发出倡议，为受灾的湛江市居民捐款，（视频率为概率）
（Ⅰ）在湛江市受害灾民中随机抽取3户，设损失超过8000元的居民为x户，求x的分布列和数学期望；
（Ⅱ）湛江市教育局调查了50户居民捐款情况如下表，说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于500元和自身经济损失是否超过8000元有关？

	经济损失不超过5000元	经济损失超过5000元	合计
捐款超过500元	30	9	39
捐款不超过500元	5	6	11
合计	35	15	50

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，0.06），由此能求出X的分布列和EX．
（Ⅱ）求出K²=4.046＞30841，从而得到有95%以上的把握认为捐款数额多于500元和自身经济损失是否超过8000元有关．

解答 解：（Ⅰ）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，
由频率分布直方图知损失超过8000元的频率为0.06，用频率表示概率，得X～B（3，0.06），
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（0.06）^{0}（1-0.06）^{3}$=0.830584，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（0.06）^{1}（1-0.06）^{2}$=0.159048，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（0.06）^{2}（1-0.06）$=0.010152，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（0.06）^{3}（1-0.06）^{0}$=0.000216，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	0.830584	0.159048	0.010152	0.000216

EX=3×0.06=0.18．
（Ⅱ）K²=$\frac{50×（30×6-9×5）^{2}}{39×11×35×15}$=4.046＞30841，
∴有95%以上的把握认为捐款数额多于500元和自身经济损失是否超过8000元有关．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．