Question

7．已知f（x）=9^x+（a-3）3^x+4，a∈R
（1）当a=1时，求函数F（x）=f（x）的单调区间；
（2）当a=4时，求函数f（x）的值域；
（3）讨论方程f（x）=0的根的个数．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，求函数F（x）=f（x）=9^x-2•3^x+4，令t=3^x，则y=F（x）=t²-2t+4，t＞0，结合复合函数的单调性，可得答案；
（2）当a=4时，f（x）=9^x+3^x+4，令t=3^x，则y=f（x）=t²+t+4，t＞0，结合二次函数的图象和性质，可得函数f（x）的值域；
（3）方程f（x）=0的根的个数．即t²+（a-3）t+4=0，正根的个数，分类讨论，最后综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（1）当a=1时，求函数F（x）=f（x）=9^x-2•3^x+4，
令t=3^x，则y=F（x）=t²-2t+4，t＞0，
由t=3^x为增函数，y=t²-2t+4在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，
故函数F（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（-∞，0）；
（2）当a=4时，f（x）=9^x+3^x+4，
令t=3^x，则y=f（x）=t²+t+4，t＞0，
由y=t²+t+4的图象是开口朝上，且以直线x=-$\frac{1}{2}$为对称轴的抛物线，
故t＞0时，f（x）＞y|_t=0=4，
即函数f（x）的值域为（4，+∞）；
（3）方程f（x）=0的根的个数．
即t²+（a-3）t+4=0，正根的个数，
当△=（a-3）²-16＜0，即a∈（-1，7）时，方程t²+（a-3）t+4=0无根，故方程f（x）=0无根；
当△=（a-3）²-16=0，即a=-1，或a=7时，方程有两相等实根，
①a=7时，方程t²+（a-3）t+4=0有一负根，故方程f（x）=0无根；
②a=-1时，方程t²+（a-3）t+4=0有一正根，故方程f（x）=0有一根；
当△=（a-3）²-16＞0，即a＜-1，或a＞7时，方程有两不等实根，
①a＞7时，方程t²+（a-3）t+4=0有两负根，故方程f（x）=0无根；
②a＜-1时，方程t²+（a-3）t+4=0有两正根，故方程f（x）=0有两根；
综上所述：a＜-1时，方程f（x）=0有两根；
a=-1时，方程f（x）=0有一根；
a＞-1时，方程f（x）=0有两根；

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．