Question

20．设f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{sinax}{\sqrt{1-cosx}}，-π＜x＜0}\\{b，x=0}\\{\frac{1}{x}（lnx-ln（{x}^{2}+x），x＞0}\end{array}\right.$连续，求a，b．

Answer 1

分析 问题等价为：$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$f（x）=$\underset{lim}{x→{0}^{-}}$f（x）=f（0）=b，再直接求函数在x=0处的左右极限即可．

解答 解：根据题意，$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$f（x）=$\underset{lim}{x→{0}^{-}}$f（x）=f（0）=b，
$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$$\frac{lnx-ln（x^2+x）}{x}$=$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$（$\frac{1}{x}-\frac{2x+1}{x^2+x}$）
=$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$$\frac{-1}{x+1}$=-1，
因此，b=-1，
又有$\underset{lim}{x→{0}^{-}}$$\frac{sinax}{\sqrt{1-cosx}}$=-$\underset{lim}{x→{0}^{-}}$$\frac{sinax}{\sqrt{2}sin\frac{x}{2}}$
=-$\underset{lim}{x→{0}^{-}}$（$\frac{sinax}{ax}$•$\frac{\frac{x}{2}}{sin\frac{x}{2}}$•$\sqrt{2}a$）=-$\sqrt{2}a$，
所以，-$\sqrt{2}a$=-1，a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，b=-1．

点评 本题主要考查了函数连续性的应用，涉及函数的左右极限，并考查了运用罗必塔法则求极限，属于中档题．