Question

4．在△ABC中，若tan$\frac{A}{2}$•tan$\frac{B}{2}$=$\frac{1}{4}$，则tan$\frac{C}{2}$的最大值为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 利用三角形的内角和，得出$\frac{A}{2}$、$\frac{B}{2}$与$\frac{C}{2}$的关系，再根据三角函数的恒等变换，利用基本不等式，即可得出tan$\frac{C}{2}$的最大值．

解答 解：△ABC中，A+B+C=π，∴$\frac{A+B}{2}$=$\frac{π}{2}$-$\frac{C}{2}$，
∴tan$\frac{A+B}{2}$=tan（$\frac{π}{2}$-C）=$\frac{1}{tanC}$，
又tan$\frac{A}{2}$•tan$\frac{B}{2}$=$\frac{1}{4}$，
∴tan$\frac{A+B}{2}$=$\frac{tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}}{1-tan\frac{A}{2}•tan\frac{B}{2}}$=$\frac{tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{3}$（tan$\frac{A}{2}$+tan$\frac{B}{2}$），
∴tan$\frac{C}{2}$=$\frac{3}{4（tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}）}$≤$\frac{3}{4×2\sqrt{tan\frac{A}{2}•tan\frac{B}{2}}}$=$\frac{3}{4×2\sqrt{\frac{1}{4}}}$=$\frac{3}{4}$，
tan$\frac{A}{2}$=tan$\frac{B}{2}$=$\frac{1}{2}$“=”成立，
∴tan$\frac{C}{2}$的最大值为$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换问题，也考查了基本不等式的应用问题，是综合性问题．