Question

7．过抛物线y²=2px的焦点F的直线和抛物线相交于A，B两点，如图所示．
（1）若A，B的纵坐标分别为y₁，y₂，求：y₁y₂=-p²；
（2）若直线AO与抛物线的准线相交于点C，求证：BC∥x轴．

Answer 1

分析 （1）设直线AB的方程为x=my+$\frac{p}{2}$，再将直线与抛物线联立，运用韦达定理解决问题；
（2）证明B，C的纵坐标相等即可．

解答 证明：（1）设直线AB的方程为x=my+$\frac{p}{2}$，联立直线与抛物线，化为y²-2pmy-p²=0，
∴y₁y₂=-p²；
（2）直线OA的方程为y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x，x=-$\frac{p}{2}$时，y=-$\frac{p{y}_{1}}{2{x}_{1}}$=-$\frac{{p}^{2}}{{y}_{1}}$=y₂，
∴BC∥x轴．

点评 本题考查了直线与抛物线的位置关系，解题时要充分利用抛物线的特殊性，灵活运用韦达定理解决问题．