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f(x)是定义域在R上的函数,已知:f(x+y)=f(x)+f(y)对于任意x,y∈R都成立.
(1)求f(0)的值;
(2)求证:判断f(x)的奇偶性并证明你的结论.
(1)∵f(x+y)=f(x)+f(y)对于任意x,y∈R都成立.
令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0)
解得f(0)=0;
(2)函数f(x)是R上的奇函数.
证明:令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)=0,
∴f(-x)=-f(x),
∴函数f(x)是R上的奇函数.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

18、已知f(x)是定义域在R上的函数,且有下列三个性质:
①函数图象的对称轴是x=1;
②在(-∞,0)上是减函数;
③有最小值是-3;
请写出上述三个条件都满足的一个函数
y=(x-1)2-3

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科目:高中数学 来源: 题型:

若函数f(x)的定义域为R,若存在常数M>0,使|f(x)|≤M|x|对一切实数均成立,则称f(x)为虚界函数,给出下列函数:
①f(x)=0;
②f(x)=x2
③f(x)=sinx+cosx;
④f(x)=
xx2+x+1

⑤f(x)是定义域在R上的奇函数,且满足对一切实数均有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|.
其中是虚界函数的序号为
①④⑤
①④⑤

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)是定义域在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递减,求满足f(x2+2x+3)>f(-x2-4x-5)的x的集合.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数y=f(x)是定义域在R,并且满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(
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)=1
,且当x>0时,f(x)>0.
(1)求f(0)的值;                
(2)判断函数的奇偶性;
(3)试判断函数的单调性,并求解不等式f(x)+f(2+x)<2.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)是定义域在R上的函数,f(2+x)=-f(2-x),f(x+2)=-
1f(x)

(1)函数f(x)是不是周期函数,若是,求出周期;
(2)判断f(x)的奇偶性.

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