Question

已知f（x）是定义域在R上的函数，f（2+x）=-f（2-x），f（x+2）=-

1

f(x)

．
（1）函数f（x）是不是周期函数，若是，求出周期；
（2）判断f（x）的奇偶性．

Answer 1

分析：（1）由已知可得f（x+4）=f[2+（x+2）]=-

1

f(x+2)

=f（x）可求函数的周期
（2）由f（2+x）=-f（2-x）可得f（x）=-f（4-x），结合（1）中的周期可判断

解答：（1）证明：∵f（x+4）=f[2+（x+2）]=-

1

f(x+2)

=f（x）
∴f（x）是以4为周期的周期函数
（2）由f（2+x）=-f（2-x）
令t=2-x则x=2-t
故f（t）=-f（4-t）即f（x）=-f（4-x）
∴f（-x）=-f（4+x）=-f（x）
∴函数f（x）是奇函数

点评：本题主要考查了抽象函数的周期及函数的奇偶性的判断，解题的关键是熟练应用函数的性质