Question

【题目】已知，坐标平面上一点P满足： 的周长为6，记点P的轨迹为.抛物线以为焦点，顶点为坐标原点O.

（Ⅰ）求， 的方程；

（Ⅱ）若过的直线与抛物线交于两点,问在上且在直线外是否存在一点,使直线的斜率依次成等差数列,若存在,请求出点的坐标,若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）的方程为： ， 的方程为： .

（2）见解析

【解析】【试题分析】（1）运用椭圆的定义进行求解；（2）依据题设条件建立直线的方程然后与椭圆方程联立，运用交点坐标之间的关系分析求解：

解：（Ⅰ）依题意可知， 的周长为，由于，故，由于，故点P的轨迹为为以为焦点的椭圆的一部分，且，故，故的方程为： ， 的方程为： .

（Ⅱ）设，设直线的方程为： ，

由， ，

故，

又，

故，

，

故，

因为直线不经过点M，故，故或，

当时， 上除点外，均符合题意；

当时,则当时，椭圆上存在两点和都符合条件.