Question

3．在等比数列{a_n}中，a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=27，$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}+\frac{1}{a_5}$=3，则a₃=（　　）

• A． ±9
• B． 9
• C． 3
• D． ±3

Answer 1

分析 根据等比数列的定义，可得$\left\{\begin{array}{l}{a_3}（{\frac{1}{q^2}+\frac{1}{q}+1+q+{q^2}}）=27\\ \frac{1}{a_3}×（{{q^2}+q+1+\frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}}）=3\end{array}\right.$，即可求出答案．

解答 解：设公比为q，
由已知可得$\left\{\begin{array}{l}{a_3}（{\frac{1}{q^2}+\frac{1}{q}+1+q+{q^2}}）=27\\ \frac{1}{a_3}×（{{q^2}+q+1+\frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}}）=3\end{array}\right.$，
两式相除可得，${a_3}^2=9$，
所以a₃=±3．当a₃=-3时，此时$\frac{1}{{q}^{2}}$+$\frac{1}{q}$+1+q+q²=-9，化简为$\frac{（1+q）^{2}}{{q}^{2}}$（q²-q+1）=-9，此方程无解，故舍去，
故选：C．

点评 本题考查了等比数列的性质和方程组的解法，属于基础题．