Question

15．设数列{a_n}是等比数列，公比q=2，S_n为{a_n}的前n项和，记T_n=$\frac{9{S}_{n}-{S}_{2n}}{{a}_{n+1}}$（n∈N^*），则数列{T_n}最大项的值为3．

Answer 1

分析 由等比数列前n项和公式推导出T_n=9-2ⁿ-$\frac{8}{{2}^{n}}$，由此能示出数列{T_n}最大项的值．

解答 解：∵数列{a_n}是等比数列，公比q=2，S_n为{a_n}的前n项和，
T_n=$\frac{9{S}_{n}-{S}_{2n}}{{a}_{n+1}}$（n∈N^*），
∴T_n=$\frac{9•\frac{{a}_{1}（1-{2}^{n}）}{1-2}-\frac{{a}_{1}（1-{{2}^{2n}）}_{\;}}{1-2}}{{a}_{1}•{2}^{n}}$=9-2ⁿ-$\frac{8}{{2}^{n}}$，
∵${2}^{n}+\frac{8}{{2}^{n}}≥2\sqrt{{2}^{n}•\frac{8}{{2}^{n}}}$=4$\sqrt{2}$，
当且仅当${2}^{n}=\frac{8}{{2}^{n}}$时取等号，
又n∈N^*，n=1或2时，T_n取最大值T₁=9-2-4=3．
∴数列{T_n}最大项的值为3．
故答案为：3．

点评 本题考查数列中最大项的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列性质、基本不等式的合理运用．