Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，由F向其渐近线引垂线，垂足为P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为

2

．

Answer 1

分析：根据题意可表示出渐近线方程，进而可知PF的斜率，设出P的坐标代入渐近线方程求得x的表达式，则P的坐标可知，进而求得中点的表达式，代入双曲线方程整理求得a和c的关系式，进而求得离心率．

解答：解：由题意设F（c，0）相应的渐近线：y=

b

a

x，
则根据直线PF的斜率为-

a

b

，设P（x，

b

a

x），代入双曲线渐近线方程求出x=

a2

c

，
则P（

a2

c

，

ab

c

），则PF的中点（

a2+c2

2c

，

ab

2c

），
把中点坐标代入双曲线方程

x2

a2

-

y2

b2

=1中，整理求得

c

a

=

2

，即离心率为

2

故答案为：

2

．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是通过分析题设中的信息，找到双曲线方程中a和c的关系．考查计算能力．