Question

11．某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．
（1）根据三视图，画出该几何体的直观图；
（2）在直观图中，①证明PD∥面AGC；②求此几何体的侧面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据三视图，可得该几何体为正四棱锥P-ABCD，正方形ABCD的边长为2，正四棱锥的高为$\sqrt{2}$，由此可得该几何体的直观图．
（Ⅱ）①在直观图中，设正方形ABCD的中心为O，利用三角形的中位线证明OG∥PD．再由直线和平面平行的判定定理证得 PD∥面AGC．
②连接PO，则PO⊥平面ABCD，取BC的中点E，连接PE，PE，则PE⊥BC，即可求此几何体的侧面积．

解答 解：（1）根据三视图，可得该几何体为正四棱锥P-ABCD，正方形ABCD的边长为2，正四棱锥的高为$\sqrt{2}$，
该几何体的直观图如图所示：
（2）①证明：在直观图中，设正方形ABCD的中心为O，
∵G是PB的中点，
∴OG是△PAD的中位线，故有OG∥PD．
而OG?面AGC，PD?面AGC，∴PD∥面AGC．
②连接PO，则PO⊥平面ABCD，
取BC的中点E，连接PE，PE，则PE⊥BC，
Rt△POE中，PO=$\sqrt{2}$，OE=1，
∴PE=$\sqrt{3}$，
∴几何体的侧面积S=4×$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查三视图、直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定定理、平面和平面垂直的判定定理的应用，属于中档题．