Question

6．已知△OAB中，$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{OG}$=2$\overrightarrow{GM}$，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且$\overrightarrow{PG}$=λ$\overrightarrow{GQ}$（λ∈R），设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OQ}$=y$\overrightarrow{b}$，（x∈R，y∈R）
（1）求$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的值．
（2）记△OAB与△OPQ的面积分别为S、T，求f（x）=$\frac{T}{S}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别表示出）$\overrightarrow{OG}$=（1-λ）x$\overrightarrow{a}$+λy$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$，通过系数相等得到方程组，解出即可；
（2）分别表示出S、T，代入f（x）=$\frac{T}{S}$，通过换元法得到新函数，通过讨论其单调性求出新函数的最大值和最小值，即f（x）的最值，得到f（x）的范围．

解答 解：（1）$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{PG}$=$\overrightarrow{OP}$+λ$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{OP}$+λ（$\overrightarrow{OQ}$-$\overrightarrow{OP}$）
=（1-λ）$\overrightarrow{OP}$+λ$\overrightarrow{OQ}$=（1-λ）x$\overrightarrow{a}$+λy$\overrightarrow{b}$，
又∵$\overrightarrow{OG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OM}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$，
∴（1-λ）x$\overrightarrow{a}$+λy$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$，
而$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$不共线，得$\left\{\begin{array}{l}{（1-λ）x=\frac{1}{3}}\\{λx=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}=3-3λ}\\{\frac{1}{y}=3λ}\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=3；
（2）f（x）=$\frac{T}{S}$=$\frac{\frac{1}{2}|\overrightarrow{OP}|•|\overrightarrow{OQ}|sin∠POQ}{\frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|sin∠AOB}$=$\frac{|\overrightarrow{OP}|}{|\overrightarrow{OA}|}$•$\frac{|\overrightarrow{OQ}|}{|\overrightarrow{OB}|}$=xy=$\frac{{x}^{2}}{3x-1}$
由题知G点是△OAB的重心，∴$\frac{1}{2}$≤x≤1，
设3x-1=t，则f（x）=g（t）=$\frac{1}{9}$（t+$\frac{1}{t}$）+$\frac{2}{9}$，$\frac{1}{2}$≤t≤2，
设$\frac{1}{2}$≤t₁＜t₂≤1，g（t₁）-g（t₂）=$\frac{1}{9}$（t₁-t₂+$\frac{1}{{t}_{1}}$-$\frac{1}{{t}_{2}}$）=$\frac{1}{9}$（t₁-t₂）$\frac{{{t}_{1}t}_{2}-1}{{{t}_{1}t}_{2}}$，
∴t₁-t₂＜0，t₁t₂-1＜0，g（t₁）-g（t₂）＞0，
∴g（t）在t∈[$\frac{1}{2}$，1]上是减函数，
同理可证在t∈[1，2]上是增函数，
∴t=$\frac{1}{2}$或t=2时，g（t）_max=$\frac{1}{2}$，t=1时，g（t）_min=$\frac{4}{9}$，
∴f（x）=$\frac{T}{S}$的取值范围是：[$\frac{4}{9}$，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查了平面向量的运算性质，考查函数的单调性、最值问题，考查换元思想，是一道中档题．