Question

【题目】已知椭圆C: 的离心率为 ,右焦点为( ,0)
（1）求椭圆C的方程;
（2）若过原点 作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A,B两点,求证:点O到直线AB的距离为定值.

Answer 1

【答案】
（1）解：由右焦点为( ,0),则 ,又离心率为 ,所以 , ，

则

（2）解：设A , ,若k存在,则设直线AB:y=kx+m.

得

有OA⊥OB知x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m)=(1+k2) x1x2+k m(x1+x2)=0 代入,得4 m2=3 k2+3原点到直线AB的距离 ， 当AB的斜率不存在时, ,可得, 依然成立.所以点O到直线 的距离为定值

【解析】(1)根据题意结合已知利用椭圆的简单性质即可求出椭圆的方程。(2)根据题意分情况讨论斜率存在和不存在两种情况，若存在设出A、B两点的坐标与直线的方程，联立直线与椭圆方程消去y得到关于x的一元二次方程，由韦达定理结合两条直线垂直斜率之积等于-1即可求出m和k的关系式，代入到点到直线的距离公式即可求出该距离为；若不存在时，利用特殊的几何关系也可求出点O到直线AB的距离也是定值。