Question

11．（1）讨论m取不同的值时，函数f（x）=$\frac{2}{{3}^{x}-1}$+m的奇偶性；
（2）画出函数y=|3^x-1|的图象，并利用图象方程|3^x-1|=k解得个数．（作图请用尺）

Answer 1

分析 （1）先求函数f（x）=$\frac{2}{{3}^{x}-1}$+m的定义域，再求f（-x）=$\frac{2}{{3}^{-x}-1}$+m=$\frac{-2•{3}^{x}}{{3}^{x}-1}$+m；从而确定f（-x）与f（x）的关系即可．
（2）作出函数y=|3^x-1|的图象，由图象写出方程|3^x-1|=k解得个数即可．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{2}{{3}^{x}-1}$+m的定义域为{x|x≠0}，
f（-x）=$\frac{2}{{3}^{-x}-1}$+m=$\frac{-2•{3}^{x}}{{3}^{x}-1}$+m；
令f（x）+f（-x）=-2+2m=0得，
m=1；
故当m=1时，
函数f（x）=$\frac{2}{{3}^{x}-1}$+m是奇函数，
当m≠1时，
函数f（x）=$\frac{2}{{3}^{x}-1}$+m是非奇非偶函数．
（2）函数y=|3^x-1|的图象如下，

故当k=0或k≥1时，方程|3^x-1|=k只有一个解，
当0＜k＜1时，方程|3^x-1|=k有两个解，
当k＜0时，方程无解．

点评 本题考查了函数的奇偶性的判断与函数的图象的作法与应用，属于中档题．