Question

16．在平面直角坐标系中，已知点A，B在抛物线y²=4x上，且满足$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4，点F是抛物线的焦点，设△OFA，△OFB的面积分别是S₁，S₂，那么S₁•S₂等于（　　）

• A． 2
• B． $\frac{5}{2}$
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 设l过A、B的方程为：x=ty+b代入抛物线y²=4x，消去x，通过$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4，得到直线恒过的定点，判断出A、B的位置，然后求出结果即可．

解答 解：设l过A、B的方程为：x=ty+b代入抛物线y²=4x，消去x得
y²-4ty-4b=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4b，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=（ty₁+b）（ty₂+b）+y₁y₂
=t²y₁y₂+bt（y₁+y₂）+b²+y₁y₂
=-4bt²+4bt²+b²-4b=b²-4b，
令b²-4b=-4，∴b²-4b+4=0∴b=2．
∴直线l过定点（2，0）．
当x=2时，y=±2$\sqrt{2}$，此时|y₁y₂|取得最小值8，
∴S_△OFA•S_△OFB=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{2}$×1×|y₁y₂|=$\frac{1}{4}$×8=2．
故选A．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，三角形的面积的求法，考查转化思想以及计算能力．