Question

1．设方程x⁴-15x³+kx²+175x-1992=0的四个根中有两根的乘积为24，求k的值．

Answer 1

分析 不妨设方程x⁴-15x³+kx²+175x-1992=0的四个根为x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁x₂=24；从而由x⁴-15x³+kx²+175x-1992=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）（x-x₄）=（x²-（x₁+x₂）x+x₁x₂）（x²-（x₃+x₄）x+x₃x₄）可得x₁x₂x₃x₄=-1992，x₁+x₂+x₃+x₄=15，83（x₁+x₂）-24（x₃+x₄）=175，从而求k．

解答 解：不妨设方程x⁴-15x³+kx²+175x-1992=0的四个根为x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁x₂=24；
则x⁴-15x³+kx²+175x-1992=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）（x-x₄）
=（x²-（x₁+x₂）x+x₁x₂）（x²-（x₃+x₄）x+x₃x₄）；
故x₁x₂x₃x₄=-1992，
故x₃x₄=-$\frac{1992}{24}$=-83；
故（x²-（x₁+x₂）x+24）（x²-（x₃+x₄）x-83）
则x₁+x₂+x₃+x₄=15，
83（x₁+x₂）-24（x₃+x₄）=175，
联立方程解得，
x₁+x₂=5，x₃+x₄=10；
故k=（x₁+x₂）（x₃+x₄）+24-83=50+24-83=-9．

点评 本题考查了多项式的化简与运算，属于中档题．