Question

9．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线方程为x=-1．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l：y=x+m与抛物线C交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点且满足|OM|=2$\sqrt{5}$（O为坐标原点），求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由于抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，由条件即可得到p=2，进而得到抛物线方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），联立直线方程和抛物线方程，消去y，运用韦达定理和中点坐标公式，求得M的坐标，结合两点的距离公式，计算即可得到m，进而得到所求直线方程．

解答 解：（1）由于抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
又抛物线C的准线为x=-1，
∴$\frac{p}{2}$=1，即p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$消去y，整理得x²+（2m-4）x+m²=0
令△=-16m+16＞0，即m＜1①，
求解可得x₁+x₂=4-2m，
y₁+y₂=（x₁+m）+（x₂+m）=（x₁+x₂）+2m=4，
∴M（2-m，2），
由|OM|=2$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{（2-m）^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，解得m=-2或m=6②
由①②得，m=-2
∴直线l的方程为y=x-2．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的准线方程，同时考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．