Question

4．已知抛物线C：y²=8x的焦点为F，点M（-1，0），不垂直于x轴的直线于抛物线相交于A，B两点，若x轴平分∠AMB，则△FAB的面积的取值范围是（　　）

• A． （2$\sqrt{2}$，+∞）
• B． [2$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （4$\sqrt{2}$，+∞）
• D． [4$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 如图所示，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线AB的方程为my=x+t（m≠0）．与抛物线方程联立可得y²-8my+8t=0，得到根与系数的关系，由于x轴平分∠AMB，可得k_MA+k_MB=0，$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$=0，化为t=-1．利用弦长公式可得：|AB|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$，F（2，0）到直线AB的距离d=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，再利用S_△FAB=$\frac{1}{2}|AB|•d$及其二次函数的单调性即可得出．

解答 解：如图所示，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线AB的方程为my=x+t（m≠0）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+t}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，化为y²-8my+8t=0，
△＞0，
∴y₁+y₂=8m，y₁y₂=8t，
∵x轴平分∠AMB，
∴k_MA+k_MB=0，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$=0，
∴y₁（my₂+1-t）+y₂（my₁+1-t）=0，
∴2my₁y₂+（1-t）（y₁+y₂）=0，
∴16mt+8m（1-t）=0，
化为t=-1．
∴|AB|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{m}^{2}）（64{m}^{2}+32）}$=$4\sqrt{（1+{m}^{2}）（4{m}^{2}+2）}$，
F（2，0）到直线AB的距离d=$\frac{|2-1|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
∴S_△FAB=$\frac{1}{2}|AB|•d$=$2\sqrt{4{m}^{2}+2}$$＞2\sqrt{2}$．（m≠0）．
∴△FAB的面积的取值范围是$（2\sqrt{2}，+∞）$．
故选：A．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、角平分线的性质、斜率计算公式、弦长公式、三角形的面积计算公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．