Question

8．若实数a和b满足2×4^a-2^a•3^b+2×9^b=2^a+3^b+1，则2^a+3^b的取值范围为（1，2]．

Answer 1

分析 令2^a=x＞0，3^b=y＞0，x+y=t＞0，则2×4^a-2^a•3^b+2×9^b=2^a+3^b+1，化为5x²-5tx+2t²-t-1=0，令f（x）=5x²-5tx+2t²-t-1，可得：f（0）=2t²-t-1＞0，△=25t²-20（2t²-t-1）≥0，解出即可．

解答 解：令2^a=x＞0，3^b=y＞0，x+y=t＞0，
则2×4^a-2^a•3^b+2×9^b=2^a+3^b+1，
化为2x²-xy+2y²=x+y+1，
即5x²-5tx+2t²-t-1=0，
令f（x）=5x²-5tx+2t²-t-1，
则f（0）=2t²-t-1＞0，△=25t²-20（2t²-t-1）≥0，
解得1＜t≤2，
∴2^a+3^b的取值范围为（1，2]，
故答案为：（1，2]．

点评 本题考查了指数函数的性质、二次函数与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．