Question

过双曲线x2-

y2

2

=1的右焦点作直线交双曲线于A，B两点，且|AB|=4，则这样的直线有

 

条．

Answer 1

分析：右焦点为（

3

，0），当AB的斜率不存在时，经检验满足条件，当AB的斜率存在时，设直线AB方程为y-0=k
（x-

3

），代入双曲线化简，求出x₁+x₂ 和x₁•x₂的值，由|AB|=4=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1•x2

，
解得k=±1，得到满足条件的斜率存在的直线有两条，故总共有3条．

解答：解：右焦点为（

3

，0），当AB的斜率不存在时，直线AB方程为 x=

3

，
代入双曲线x2-

y2

2

=1的方程可得y=±2，即A，B两点的纵坐标分别为2 和-2，满足|AB|=4．
当AB的斜率存在时，设直线AB方程为 y-0=k（x-

3

），代入双曲线x2-

y2

2

=1的方程化简可得
（2-k²） x²-2

3

 k² x+3k²-2=0，∴x₁+x₂=

2 3  k2

2-k2

，x₁•x₂=

3k2-2

2-k2

，
∴|AB|=4=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1•x2

，平方化简可得 （3k⁴+6）（k²-1）=0，
∴k=±1，都能满足判别式△=12-4（2-k²）（3k²-2）＞0．
所以，满足条件的且斜率存在的直线有2条．
综上，所有满足条件的直线共有3条，
故答案为 3．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，求出满足条件的直线的斜率，是解题的关键和难点．