Question

已知函数f（x）=2x³-x²+ax+b．
（1）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求参数a的取值范围．
（2）若函数f（x）在x=1处取处极值，且x∈[-1，2]时，f（x）＜b²+b恒成立，求参数b  的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据切线与横轴平行，对函数求导，使得到函数等于0有实根，得到关于一元二次方程的判别式，求出结果．
（2）由函数f（x）在x=1处取得极值，知x=1是方程f^′（x）=0的一个根，得到字母系数的值，求出两一个根，求出函数的最值，进行比较．得到关于b的不等式，解不等式即可．

解答：解：（1）∵f^′（x）=6x²-2x+a
∴方程f^′（x）=0有实根，（4分）
∴△=4-4×6a≥0，
∴a≤

1

6

  （2）由函数f（x）在x=1处取得极值，
知x=1是方程f^′（x）=0的一个根，
所以a=-4
∴方程f^′（x）=0的另一个根为-

2

3

∴当x＜-

2

3

或x＞1时，f^′（x）＞0，
当-

2

3

＜x＜1时，f^′（x）＜0，
∴f（x）有极大值

44

27

+b
而f（2）=4+b＞

44

27

+b＞f（-1）=1+b
∴当x∈[-1，2]时，f（x）的最大值是4+b
∵f（x）＜b²+b恒成立，即有4+b＜b²+b成立
解得b＜-2或b＞2
∴参数b的取值范围是（-∞，-2）∪（2，+∞）

点评：本题考查函数的极值点应用，考查恒成立问题，解题的关键是构造不等式，整理出要用的结果，是一个综合题目．