Question

【题目】一个圆锥底面半径为，高为，

（1）求圆锥的表面积.

（2）求圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）计算出圆锥的母线长，然后利用圆锥的表面积公式计算即可；

（2）设正四棱柱的底面对角线的一半为，根据轴截面上的两个三角形相似，列出比例式求出四棱柱的高，根据正四棱柱的表面积公式得出其表面积的表达式，然后利用二次函数的基本性质得出该正四棱柱表面积的最大值.

（1）由题意可知，圆锥的母线长为，

所以，该圆锥的表面积为；

（2）如下图所示，设正四棱柱的底面对角线的一半为，

，，即，解得，

正四棱柱的底面是一个正方形，其底边长为，底面积为，

所以，四棱柱的底面积为，

由二次函数的基本性质可知，当时，

正四棱柱的表面积有最大值，即.