Question

13．已知命题P：函数f（x）=x²+ax+3-a，若x∈[-2，2]时，则f（x）≥2恒成立．
（1）当命题P为真命题时，求实数a的取值集合M；
（2）当集合E={a|a∈M}∩Z（Z为整数集）时，求集合E的子集的个数．

Answer 1

分析 （1）当x∈[-2，2]时，f（x）≥2恒成立，即x²+ax+1-a≥0在[-2，2]上恒成立，分两种情况：若根的判别式小于等于0时满足题意；根的判别式大于0时，可得f（2）与f（-2）都大于等于0，且对称轴大于等于2或小于等于-2，求出a的范围即可确定出M；
（2）求出M与整数集的交集确定出E，求出E子集个数即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²+ax+3-a，当x∈[-2，2]时，f（x）≥2恒成立，
∴x²+ax+1-a≥0在[-2，2]上恒成立，
∵△=a²-4（1-a）≤0，
∴-2-2$\sqrt{2}$≤a≤-2+2$\sqrt{2}$，
或$\left\{\begin{array}{l}{△={a}^{2}-4（1-a）＞0}\\{f（2）≥0}\\{f（-2）≥0}\\{-\frac{a}{2}≥2或-\frac{a}{2}≤-2}\end{array}\right.$，
解得：-5≤a＜-2$\sqrt{2}$-2，
则M={a|-5≤a≤2$\sqrt{2}$-2}；
（2）由（1）得：M={a|-5≤a≤2$\sqrt{2}$-2}，
∴E={a|a∈M}∩Z（Z为整数集）={-5，-4，-3，-2，-1，0}，
则集合E的子集个数为2⁶=64．

点评 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．