Question

已知圆C：x²+y²+x-6y+m=0与直线l：x+2y-3=0．
（1）若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；
（2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，根据直线l与圆没有公共点得到直线l与圆外离，即d大于r列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围；
（2）根据题意得出直线OP与直线OQ垂直，即斜率乘积为-1，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），将直线l方程与圆方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，根据斜率乘积为-1列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．

解答：解：（1）将圆的方程化为标准方程得：（x+

1

2

）²+（y-3）²=9

1

4

-m，
∴圆心C（-

1

2

，3），半径r²=9

1

4

-m＞0，即m＜

37

4

，
∵圆心C到直线l的距离d²=

5

4

，直线l与圆C没有公共点
∴9

1

4

-m＜

5

4

，即m＞8，
则m的范围为（8，

37

4

）；
（2）根据题意得：△OQP为直角三角形，即OP⊥OQ，
将直线l与圆方程联立消去y得到：5x²+10x+4m-27=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=-2，x₁x₂=

4m-27

5

，y₁y₂=

3-x1

2

•

3-x2

2

=

9-(x1+x2)+x1x2

4

=

11+ 4m-27 5

4

，
∵x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

4m-27

5

+

11+ 4m-27 5

4

=-1，
解得：m=3．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：根与系数的关系，两直线垂直时斜率的乘积为-1，圆的标准方程，以及点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系有d与r的大小关系来判断：当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．