Question

如图所示，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE
（1）求证：AE∥平面BFD；
（2）求二面角D-BE-C的大小；
（3）求三棱锥C-BGF的体积．

Answer 1

分析：（1）根据G是AC的中点，连接FG，而BF⊥平面ACE，根据线面垂直的性质可知CE⊥BF，而BC=BE，从而F是EC的中点，根据中位线定理可知FG∥AE，而FG?平面BFD，AE?平面BFD，满足线面平行的判定定理，从而证得结论；
（2）根据BF⊥面ACE，由线面垂直的性质得BF⊥AE，且BC⊥面ABE，则AE⊥BE，从而DE⊥BE，又BC⊥BE，故BC，DE所成角为二面D-BE-C的平面角，在三角形ADE中求出此角即可；
（3）根据AE⊥BE，AE⊥BF，BE∩BF=B，满足线面垂直的判定定理可得AE⊥平面BCE，而AE∥FG则FG⊥平面BCF，从而FG为三棱锥G-BCF的高，然后求出三角形BCF的面积，根据三棱锥的体积公式解之即可．

解答：解：（1）由题意可得G是AC的中点，连接FG
∵BF⊥平面ACE，CE?平面ACE，则CE⊥BF，而BC=BE，
∴F是EC的中点
在△AEC中，FG∥AE，而FG?平面BFD，AE?平面BFD
∴AE∥平面BFD
（2）由BF⊥面ACE得BF⊥AE，且BC⊥面ABE，
则AE⊥BE，∴DE⊥BE，又BC⊥BE，故BC，DE所成角为二面D-BE-C的平面角，
而AD，DE所成角为BC，DE的所成角，易得∠ADE=

π

4

，
故二面角D-BE-C的大小为

π

4

（3）∵AE∥平面BFD，∴AE∥FG，而AE⊥BE，AE⊥BF，BE∩BF=B
∴AE⊥平面BCE，即FG⊥平面BCF
则FG为三棱锥G-BCF的高，GF=1
在直角三角形BCE中，BF=

1

2

CE=CF=

2

∴S_△BCF=

1

2

2

×

2

=1
∴V_C-BGF=V_G-BCF=

1

3

×S_△BCF×FG=

1

3

（注：用向量法参照给分）

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及与二面角有关的立体几何综合题，同时考查了体积的计算和转化的思想，属于中档题．