Question

f（x）和g（x）（g（x）≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＜0，且f（-2）=0，则不等式的解集为     ．

Answer 1

【答案】分析：构造函数 h（x）=，由已知可得 x＜0时，h′（x）＜0，从而可得函数g（x）在（-∞，0）单调递减，又由已知可得函数 g（x）为奇函数，故可得 g（0）=g（-2）=g（2）=0，且在（0，+∞）单调递减，结合图象可求．
解答：解：∵f（x）和g（x）（g（x）≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数
∴f（-x）=-f（x）   g（-x）=g（x）
∵当x＜0时，f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＜0
当x＜0时，，
令h（x）=，则h（x）在（-∞，0）上单调递减
∵h（-x）=f（-x）g（-x）=-f（x）g（x）=-h（x）
∴h（x）为奇函数，
根据奇函数的性质可得函数h（x）在（0，+∞）单调递增，且h（0）=0
∵f（-2）=-f（2）=0∴h（-2）=-h（2）=0
h（x）＜0的范围为（-2，0）∪（2，+∞）
故答案为：（-2，0）∪（2，+∞）
点评：本题考查了利用导数判断函数的单调性，函数奇偶性的运用，构造函数h（x）=，并根据已知求解出该函数的性质是解答本题的关键，体会转化思想、构造的方法及函数、方程、不等式的相互联系．