Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点，交抛物线于A，B两点，其中A在第二象限．
（1）求证：以线段FA为直径的圆与Y轴相切；
（2）若，，求λ₂-λ₁的值．

Answer 1

证明：（1）由已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F（），
设A（x₁，y₁），则圆心坐标为，
圆心到y轴的距离为．…（2分）
圆的半径为，…（4分）
∴以线段FA为直径的圆与y轴相切． …（5分）
（2）设P（0，y₀），B（x₂，y₂），由，得λ₁＞0，λ₂＞0，……（6分）
．（7分）
∴①
②
-y₂=λ₂y₁③…（10分）
∵．
将③变形为，∴．…（11分）
将代入②，整理得…（12分）
代入①得．…（13分）
即λ₂-λ₁=1．…（14分）
分析：（1）由题设知F（），设A（x₁，y₁），则y₁²=-2px，计算出圆心坐标，然后分别求出圆心到y轴的距离和圆半径，由此能够证明以线段FA为直径的圆与y轴相切．
（2）设P（0，y₁），B（x₂，y₂），由题中向量关系式得出坐标之间的关系，最后代入抛物线方程整理即可得到λ₂-λ₁的值．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到直线与圆的位置关系及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．