Question

【题目】已知函数f（x）=x|x﹣a|+2x（a∈R）
（1）当a=4时，解不等式f（x）≥8；
（2）当a∈[0，4]时，求f（x）在区间[3，4]上的最小值；
（3）若存在a∈[0，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有3个不相等的实数根，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=4时，f（x）=x|x﹣4|+2x，

当x≥4时，x（x﹣4）+2x≥8，解得x≥4（x≤﹣2舍去）；

当x＜4时，x（4﹣x）+2x≥8，解得2≤x＜4．

综上可得，f（x）≥8的解集为[2，+∞）

（2）解：当a∈[0，3]时，f（x）=x（x﹣a）+2x=x2+（2﹣a）x，

对称轴为x= ∈[﹣1， ]，

区间[3，4]在对称轴的右边，为增区间，可得f（3）为最小值，即为15﹣3a；

当a∈（3，4]时，当3＜x＜a时f（x）=x（a﹣x）+2x=﹣x2+（2+a）x，

对称轴为x= ∈（ ，3]，区间（3，a）在对称轴的右边，为减区间；

当a≤x≤4时，f（x）=x（x﹣a）+2x=x2+（2﹣a）x，

对称轴为x= ∈[ ，1]，

区间[3，4]在对称轴的右边，为增区间，

即有f（a）取得最小值，且为2a．

综上可得，a∈[0，3]时，f（x）的最小值为15﹣3a；

a∈（3，4]时，f（x）的最小值为2a

（3）解：当x＜a时，f（x）=﹣x2+（2+a）x，对称轴为x=

当a∈[0，2]知a﹣ = ≤0，可得x＜a为增函数；

当x≥a时，f（x）=x2+（2﹣a）x，对称轴为x= ，

当a∈[0，2]知a﹣ = ＞0，可得x≥a为增函数；

则不满足关于x的方程f（x）=tf（a）有3个不相等的实数根．

当a∈[2，4]时，a＞ +1＞ ﹣1，

∴y=f（x）在（﹣∞， +1）上单调增，在（ +1，a）上单调减，

在（a，+∞）上单调增，

∴当f（a）＜tf（a）＜f（ +1）时，

关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根；

即2a＜t2a＜（ +1）2，

∵a∈[2，4]，∴1＜t＜ （1+ + ），

设h（a）= （1+ + ），

∵存在a∈[2，4]使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，

∴1＜t＜h（a）max，

又可证h（a）= （1+ + ）在[2，4]上单调增，

∴h（a）max=h（4）= ，

∴1＜t＜

【解析】（1）f（x）=x|x﹣4|+2x，讨论当x≥4时，当x＜4时，去绝对值，解不等式，再求并集即可；（2）讨论当a∈[0，3]时，当a∈（3，4]时，去绝对值，求出对称轴，判断单调性，可得最小值；（3）讨论当x＜a时，当x≥a时，取绝对值，求出对称轴，讨论当a∈[0，2]，当a∈[2，4]，结合函数的单调性，求得极值，可得1＜t＜ （1+ + ），设h（a）= （1+ + ），运用单调性可得h（a）的最大值，进而得到所求t的范围．