Question

已知函数，x∈R，a∈R．
（Ⅰ）若f′（0）=-2，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在（1，2）上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，∴f^′（x）=x²+（a+2）x+a．
∵f^′（0）=-2，∴a=-2．
∴，f^′（x）=x²-2．
令f^′（x）=0，解得．
列表如下：
由表格可以看出：当时，f（x）_极大值==；
当x=时，f（x）_极小值==．
（Ⅱ）∵函数f（x）在（1，2）上单调递增，
∴f^′（x）=x²+（a+2）x+a≥0在区间（1，2）上恒成立．
亦即在区间（1，2）上恒成立．
令g（x）=-，则g^′（x）=-=-＜0，
∴函数g（x）在x∈（1，2）上为减函数，而函数g（x）在x=1时连续，
∴g（x）＜g（1）=-．
故a．
分析：（Ⅰ）先对函数f（x）求导，再令x=0，即可求出a的值；
（Ⅱ）函数f（x）在（1，2）上单调递增?f^′（x）≥0在x∈（1，2）上恒成立?在区间（1，2）上恒成立?a≥，x∈（1，2），解出即可．
点评：利用导数求函数的单调区间、极值、恒成立问题是最有效的方法之一，必须熟练掌握．