Question

过抛物线P：y²=2x的焦点F的直线交P于A、B两点，已知|AF|=4．
（1）求|BF|；
（2）求线段AB的中点到y轴的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）由y²=2x，得p=1，其准线方程为x=-，焦点F（，0）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由抛物线的定义可知，|AF|=x1+，|BF|=x2+，由|AF|=4，依次求出A，B点的坐标可得答案
（2）由（1）可得线段AB的两个端点到y轴的距离，结合梯形中位线等于上下两底和的一半，可得线段AB的中点到y轴的距离．
解答：解：（1）由抛物线P的标准方程：y²=2x可得
其准线方程为x=-，焦点F（，0）．
设过焦点F的直线AB，交P于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）点
则|AF|=x1+=4，解得x₁=，进而y₁=±
当y₁=时，直线AB的方程为：y=（x-）
代入y²=2x后整理得：
7x²-25x+=0，由韦达定理得x₁+x₂=，x₁•x₂=
解得x₂=
故|BF|=x₂+=
（2）由（1）得A点到y轴的距离x₁=，B点到y轴的距离为x₂=
则线段AB的中点到y轴的距离为=
点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质，熟练掌握抛物线的基本性质是解答的关键．