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    已知f（x）=x|x|+px+q，下列命题中正确的是________．
    ①f（x）为奇函数的充要条件是q=0；
    ②f（x）图象关于（0，q）对称；
    ③当p=0时，方程f（x）=0的解集一定非空；
    ④方程f（x）=0的解的个数为小于或等于2．

    ①②③
    分析：判断为真时，必须给以证明，判断为假，列举反例：①当f（x）为奇函数是f（0）=0，从而q=0；当q=0时，f（-x）═-f（x）；②根据f（-x）+f（x）=-x|-x|-px+q+x|x|+px+q=2q，可知f（x）图象关于（0，q）对称；③当p=0时，方程f（x）=0 为x|x|+q=0，无论q取何值，此方程一定有解；④p=-2，q=1，f（x）=，故可判断
    解答：①当f（x）为奇函数是f（0）=0，∴q=0；当q=0时，f（-x）=-x|-x|-px=-（x|x|+px）=-f（x），∴①正确．
    ②∵f（-x）+f（x）=-x|-x|-px+q+x|x|+px+q=2q，∴f（x）图象关于（0，q）对称，∴②正确；
    ③当p=0时，方程f（x）=0 为x|x|+q=0，无论q取何值，此方程一定有解，故③正确；
    ④p=-2，q=1，f（x）=，方程f（x）=0的解的个数为3个，∴④不正确
    故答案为①②③
    点评：本题以函数为载体，考查函数的性质，综合性强，需细细分析
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
    （Ⅰ）求g（x）的解析式；
    （Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
    （Ⅲ）若k=
    1
    3
    ，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间[
    1
    2
    ，a]    上的值域为[
    1
    a
    ，1]    ，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f 1(x)=|3x-1|，f2(x)=|a•3x-9|(a＞0)，x∈R，且f（x）=
    f1(x)，f1(x)≤f2(x)
    f2(x)，f1(x)＞f2(x)

    （1）当a=1时，求f（x）的解析式；
    （2）在（1）的条件下，若方程f（x）-m=0有4个不等的实根，求实数m的范围；
    （3）当2≤a＜9时，设f（x）=f2（x）所对应的自变量取值区间的长度为l（闭区间[m，n]的长度定义为n-m），试求l的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•闵行区二模）已知f（x）=x|x-a|+b，x∈R．
    （1）当a=1，b=0时，判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
    （2）当a=1，b=1时，若f(2x)=
    54
    ，求x的值；
    （3）若b＜0，且对任何x∈[0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f（x）=x|x-a|-2．
    （1）若f（1）≤1，求a的取值范围；
    （2）若a＞0，求f（x）的单调区间；
    （3）若当x∈[0，1]时，恒有f（x）＜0，求实数a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：2011年高三数学第一轮基础知识训练（20）（解析版） 题型：解答题

    已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
    （Ⅰ）求g（x）的解析式；
    （Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
    （Ⅲ）若，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间上的值域为，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

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