Question

（2008•湖北模拟）已知f(x)=3sinωxcosωx-

3

cos2ωx+2sin2(ωx-

π

12

)+

3

12

(ω＞0)．
（1）求函数f（x）值域；（2）若f（x）周期为π，求ω并写出该函数在[0，π]上的单调区间．

Answer 1

分析：（1）直接根据二倍角公式对所给函数进行化简整理后再借助与正弦函数的值域即可得到结论；
（2）直接代入周期计算公式求出ω，再结合正弦函数的单调性即可得到答案．

解答：解：（1）f（x）=

3

2

sin2ωx-

3

2

(2cos2ωx-1)+1-cos(2ωx-

π

6

)=

3

(

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx)-cos(2ωx-

π

6

)+1=

3

sin(2ωx-

π

6

)-cos(2ωx-

π

6

)+1（2分）
=2[

3

2

sin(2ωx-

π

6

)-

1

2

cos(2ωx-

π

6

)]+1=2sin(2ωx-

π

3

)+1（6分）
∴f（x）值域为[-1，3]（不同变形参照给分）
（2）因为f（x）周期为π，∴ω=1（8分）
∴f(x)=2sin(2x-

π

3

)+1
∴f（x）在[0，

5

12

π]、[

11

12

π，π]上单调递增，在[

5

12

π，

11

12

π]上单调递减．（12分）

点评：本题主要考查三角函数中的恒等变换应用．解决这类题目的关键在于对公式的熟练掌握以及灵活运用．