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对于数列{xn},如果存在一个正整数m,使得对任意的n(n∈N*)都有xm+n=xn成立,那么就把这样一类数列{xn}称作周期为m的周期数列,m的最小正值称作数列{xn}的最小正周期,以下简称周期.例如当xn=2时,{xn}是周期为1的周期数列;当yn=sin(
2
)
时,{yn}是周期为4的周期数列.设数列{an}满足an+2=λ•an+1-an(n∈N*),a1=1,a2=20.
(1)若数列{an}是周期为3的周期数列,则常数λ的值是
-1
-1

(2)设数列{an}的前n项和为Sn,若λ=1,则S2012=
21
21
分析:(1)直接利用数列{an}是周期为3的周期数列以及an+2=λ•an+1-an可以推得(λ+1)(an+2-an+1)=0即可求常数λ的值;
(2)由题意可得,当λ=1时,an+2=an+1-an,结合a1=1,a2=20可求出前几项,从而可发现数列的周期性规律,进而可求和
解答:解:由(1)数列{an}是周期为3的数列,
得an+3=an
an+2an+1-an
an+3an+2-an+1

两式相减可得,an+3-an+2=λan+2-(λ+1)an+1+an
把an+3=an代入上式可得(λ+1)(an+2-an+1)=0,即λ=-1.
(2)由题意可得,当λ=1时,an+2=an+1-an
∵a1=1,a2=20
∴a3=19,a4=-1,a5=-20,a6=-19,a7=1=a1,a8=a2=20
∴数列{an}是以6为周期的周期数列且a1+a2+…+a6=0
则S2012=a1+a2+…+a2012
=335(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+a1+a2
=21
故答案为:-1,3
点评:本题是在新定义下对数列知识的综合考查,解答的关键是数列周期规律的发现,属于数列中的难题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列,则称这个数列为调和数列.已知数列{an}是调和数列,对于各项都是正数的数列{xn},满足xnan=xn+1an+1=xn+2an+2(n∈N*).
(Ⅰ)证明数列{xn}是等比数列;
(Ⅱ)把数列{xn}中所有项按如图所示的规律排成一个三角形数表,当x3=8,x7=128时,求第m行各数的和;
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的数列{xn},证明:
n
2
-
1
3
x1-1
x2-1
+
x2-1
x3-1
+…+
xn-1
xn+1-1
n
2

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科目:高中数学 来源: 题型:

12、在数列{an}中,若存在非零整数T,使得am+T=am对于任意的正整数m均成立,那么称数列{an}为周期数列,其中T叫做数列{an}的周期.若数列{xn}满足xn+1=|xn-xn-1|(n≥2,n∈N),如x1=1,x2=a(a∈R,a≠0),当数列{xn}的周期最小时,该数列的前2010项的和是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,设P0是抛物线y=x2上一点,且在第一象限.过点P0作抛物线的切线,交x轴于Q1点,过Q1点作x轴的垂线,交抛物线于P1点,此时就称P0确定了P1.依此类推,可由P1确定P2,….记Pn(xn,yn),n=0,1,2,….给出下列三个结论:
①xn>0;
②数列{xn}为单调递减数列;
③对于?n∈N,?x0>1,使得y0+y1+y2+…+yn<2.
其中所有正确结论的序号为
①②③
①②③

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科目:高中数学 来源:2011-2012学年北京市西城区(北区)高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版) 题型:填空题

如图,设P是抛物线y=x2上一点,且在第一象限.过点P作抛物线的切线,交x轴于Q1点,过Q1点作x轴的垂线,交抛物线于P1点,此时就称P确定了P1.依此类推,可由P1确定P2,….记Pn(xn,yn),n=0,1,2,….给出下列三个结论:
①xn>0;
②数列{xn}为单调递减数列;
③对于?n∈N,?x>1,使得y+y1+y2+…+yn<2.
其中所有正确结论的序号为   

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年湖南省郴州市安仁一中高三(上)期中数学试卷(解析版) 题型:选择题

在数列{an}中,若存在非零整数T,使得am+T=am对于任意的正整数m均成立,那么称数列{an}为周期数列,其中T叫做数列{an}的周期.若数列{xn}满足xn+1=|xn-xn-1|(n≥2,n∈N),如x1=1,x2=a(a∈R,a≠0),当数列{xn}的周期最小时,该数列的前2010项的和是( )
A.669
B.670
C.1339
D.1340

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