Question

曲线C是平面内到定点A（1，0）的距离与到定直线x=-1的距离之和为3的动点P的轨迹．则曲线C与y轴交点的坐标是    ；又已知点B（a，1）（a为常数），那么|PB|+|PA|的最小值d（a）=    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）设动点P（x，y），由题意可得．对x分类讨论：①当x＜-4时，由|x+1|＞3，无轨迹；②当-4≤x≤-1时，化为，化为，与y轴无交点；③当x＞-1时，化为，化为y²=-2x+3，，令x=0即可得出y．
（2）利用（1）画出图象，分类讨论求出即可．
解答：解：（1）设动点P（x，y），由题意可得，
①当x＜-4时，∵|x+1|＞3，无轨迹；
②当-4≤x≤-1时，化为，化为，与y轴无交点；
③当x＞-1时，化为，化为y²=-2x+3，．
令x=0，解得．
综上①②③可知：曲线C与y轴的交点为；
（2）由（1）可知：．
如图所示，令y=1，则10x+15=1，或-2x+3=1，
解得x=-1.4或1．
①当a≤-1.4或a≥1时，|PA|+|PB|≥|AB|，∴d（a）=|AB|=；
②当-1＜a＜1时，当直线y=1与相交时的交点P满足|PA|+|PB|取得最小值，
∵此抛物线的准线为x=2，∴直线y=1与准线的交点Q（2，1），此时d（a）=|QB|=2-a；
③当-1.4＜a≤-1时，当直线y=1与相交时的交点P满足|PA|+|PB取得最小值，
∵此抛物线的准线为x=-4，∴直线y=1与准线的交点Q（-4，1），此时d（a）=|QB|=a+4．
综上可知：d（a）=
点评：本题综合考查了抛物线的定义、方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、两点间的距离公式等基础知识与基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力．