Question

（2012•海淀区二模）曲线C是平面内到定点A（1，0）的距离与到定直线x=-1的距离之和为3的动点P的轨迹．则曲线C与y轴交点的坐标是

(0，±

3

)

；又已知点B（a，1）（a为常数），那么|PB|+|PA|的最小值d（a）=

a2-2a+2 ，a≤-1.4或a≥1 a+4，-1.4＜a≤-1 2-a，-1＜a＜1.

．

Answer 1

分析：（1）设动点P（x，y），由题意可得

(x-1)2+y2

+|x+1|=3．对x分类讨论：①当x＜-4时，由|x+1|＞3，无轨迹；②当-4≤x≤-1时，化为

(x-1)2+y2

=x+4，化为y2=10x+15(-1≥x≥-

3

2

)，与y轴无交点；③当x＞-1时，化为

(x-1)2+y2

=2-x，化为y²=-2x+3，(-1＜x≤

3

2

)，令x=0即可得出y．
（2）利用（1）画出图象，分类讨论求出即可．

解答：解：（1）设动点P（x，y），由题意可得

(x-1)2+y2

+|x+1|=3，
①当x＜-4时，∵|x+1|＞3，无轨迹；
②当-4≤x≤-1时，化为

(x-1)2+y2

=x+4，化为y2=10x+15(-1≥x≥-

3

2

)，与y轴无交点；
③当x＞-1时，化为

(x-1)2+y2

=2-x，化为y²=-2x+3，(-1＜x≤

3

2

)．
令x=0，解得y=±

3

．
综上①②③可知：曲线C与y轴的交点为(0，±

3

)；
（2）由（1）可知：y2=

10x+15，(- 3 2 ≤x≤-1) -2x+3，(-1＜x≤ 3 2 )

．
如图所示，令y=1，则10x+15=1，或-2x+3=1，
解得x=-1.4或1．
①当a≤-1.4或a≥1时，|PA|+|PB|≥|AB|，∴d（a）=|AB|=

(a-1)2+1

=

a2-2a+2

；
②当-1＜a＜1时，当直线y=1与y2=-2x+3(-1＜x≤

3

2

)相交时的交点P满足|PA|+|PB|取得最小值，
∵此抛物线的准线为x=2，∴直线y=1与准线的交点Q（2，1），此时d（a）=|QB|=2-a；
③当-1.4＜a≤-1时，当直线y=1与y2=10x+15(-

3

2

≤x≤-1)相交时的交点P满足|PA|+|PB取得最小值，
∵此抛物线的准线为x=-4，∴直线y=1与准线的交点Q（-4，1），此时d（a）=|QB|=a+4．
综上可知：d（a）=

a2-2a+2 ，a≤-1.4或a≥1 a+4，-1.4＜a≤-1 2-a，-1＜a＜1.

点评：本题综合考查了抛物线的定义、方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、两点间的距离公式等基础知识与基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力．