Question

若函数f（x）=2lnx+ae^x在区间[1，+∞）上是减函数，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：求出原函数的导函数，使导函数在[1，+∞）上恒小于等于0，列式求解a的范围．

解答： 解：由函数f（x）=2lnx+ae^x，（x＞0）
则f′（x）=

2

x

+ae^x=

2+axex

x

，
令g（x）=axe^x+2，因为f（x）在[1，+∞）上是减函数，
所以，f′（x）在[1，+∞）上小于等于0恒成立，
则g（x）=axe^x+2在[e，+∞）上小于等于0恒成立，
即 axe^x+2≤0，所以a≤-

2

xex

．因为y=-

2

xex

在x∈[1，+∞）是增函数，所以a≤-

2

e

．
故答案为：（-∞，-

2

e

]．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．考查了在某一区间内不等式恒成立的问题，此题属中档题．