Question

已知数列{a_n}满足

an

an+2

=

1

2

a_n+1（n∈N₊），a₁=1
（1）求证：数列{

1

an

}是等差数列；
（2）设b_n表示数列{a_n}在区间（（

1

2

）ⁿ，（

1

2

）^n-1]上的项的个数，试求数列{

bn

an

}的前n项和S_n，并求关于n的不等式S_n＜2013最大正整数解．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）由

an

an+2

=

1

2

a_n+1，得

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，即可证数列{

1

an

}是首项为1，公差为

1

2

等差数列；
（2）解：由（1）求得an=

2

n+1

，结合a2n-1=

2

2n-1+1

=(

1

2

)n-1，a2n+1-1=

2

2n+1-1+1

=(

1

2

)n可得bn=2n，则

bn

an

=

n+1

2

•2n=(n+1)•2n．
然后利用错位相减法求得Sn=n•2n再由Sn=n•2n是关于n的增函数求得关于n的不等式S_n＜2013最大正整数解n=7．

解答： （1）证明：由

an

an+2

=

1

2

a_n+1，得

2

an

+1=

2

an+1

，∴

2

an+1

-

2

an

=1，即

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，
则数列{

1

an

}是首项为1，公差为

1

2

等差数列；
（2）解：由（1）知，

1

an

=1+

1

2

(n-1)=

n+1

2

，∴an=

2

n+1

．
∴a2n-1=

2

2n-1+1

=(

1

2

)n-1，a2n+1-1=

2

2n+1-1+1

=(

1

2

)n，
由(

1

2

)n＜ak≤(

1

2

)n-1，即a2n+1-1＜ak≤a2n-1，
∵数列{a_n}是递减数列，∴2ⁿ-1≤k＜2ⁿ⁺¹-1，
k的正整数解有（2ⁿ⁺¹-1）-（2ⁿ-1）=2ⁿ个，即bn=2n．
∴

bn

an

=

n+1

2

•2n=(n+1)•2n．
则Sn=2•21+3•22+4•23+…+（n+1）•2ⁿ．
2Sn=2•22+3•23+4•24+…+(n+1)•2n+1．
两式作差得：-Sn=4+(22+23+…+2n)-(n+1)•2n+1=4+

4(1-2n-1)

1-2

-(n+1)•2n+1，
∴Sn=n•2n．
∵Sn=n•2n是关于n的增函数，
且S7=7×27=896＜2013，S8=8×28=2048＞2013，
∴关于n的不等式S_n＜2013最大正整数解n=7．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，考查了数列的函数特性，由区间（（

1

2

）ⁿ，（

1

2

）^n-1]上的项的个数求解b_n是解答该题的关键，是有一定难度题目．