Question

已知函数f（x）=x²+

1

x2

+a（x+

1

x

）+b （x∈R，且x≠0），若实数a，b使得函数y=f（x）在定义域上有零点，则a²+b²的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：化简f（x）=x²+

1

x2

+a（x+

1

x

）+b=（x+

1

x

）²+a（x+

1

x

）+b-2，利用换元法令x+

1

x

=t，t≥2或t≤-2；从而可得g（t）=t²+at+b-2在t≥2或t≤-2上有零点；从而分类讨论即可．

解答： 解：f（x）=x²+

1

x2

+a（x+

1

x

）+b=（x+

1

x

）²+a（x+

1

x

）+b-2，
令x+

1

x

=t，t≥2或t≤-2；
则g（t）=t²+at+b-2在t≥2或t≤-2上有零点；
①当-4＜a＜0时，
g（-2）=2-2a+b≤0即可，
此时a²+b²的最小值为

4

5

；
②当a≤-4时，
a²-4（b-2）≥0即可，
此时a²+b²的最小值为16；
③当0≤a＜4时，
g（2）=2+2a+b≤0即可，
此时a²+b²的最小值为

4

5

；
④当a≥4时，
a²-4（b-2）≥0即可，
此时a²+b²的最小值为16；
综上所述，a²+b²的最小值为

4

5

；
故答案为：

4

5

．

点评：本题考查了二次函数的性质的应用及函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．