Question

如图，圆柱OO₁的底面圆半径为2，ABCD为经过圆柱轴OO₁的截面，点P在

AB

上且

AP

=

1

3

APB

，Q为PD上任意一点．
（Ⅰ）求证：AQ⊥PB；
（Ⅱ）若直线PD与面ABCD所成的角为30°，求圆柱OO₁的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的性质,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连接PA，证明PA⊥PB，PB⊥AD，推出PB⊥平面PAD 利用直线与平面垂直的性质定理证明AQ⊥PB．
（Ⅱ）过点P作PE⊥AB，E为垂足，连结CE，说明∠PDE就是直线PD与面ABCD所成的角，利用已知条件求出O1E=1，PE=

3

，然后求出AD，得到柱体的高，然后求解几何体的体积．

解答： （Ⅰ）证明：连接PA，
∵AB为底面的直径，
∴PA⊥PB，
又∵AD⊥面PAB，PB?平面PAB，
∴PB⊥AD．
又PA∩AB=A．
∴PB⊥平面PAD，
又AQ?平面PAD，
∴AQ⊥PB．

（Ⅱ）解：过点P作PE⊥AB，E为垂足，连结DE，
∵OO₁⊥平面PAB，
∴平面ABCD⊥平面PAB，
∴PE⊥平面ABCD，
∴∠PDE就是直线PD与面ABCD所成的角，
∴∠PDE=30°，
又∵

AP

=

1

3

APB

，
∴O1E=1，PE=

3

，
又∵tan∠PDE=

PE

DE

，
∴DE=3，AD=

DE2-AE2

=

32-(2-1)2

=2

2

，
∴V=Sh=π×22×2

2

=8

2

π．

点评：本题考查几何体的体积以及直线与平面所成角的求法，直线与平面平行的性质定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．