Question

（2010•眉山一模）根据定义在集合A上的函数y=f（x），构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x₀∈A，计算出x=f（x₀）；②若x₁∉A，则数列发生器结束工作；若x₁∈A，则输出x₁，并将x₁反馈回输入端，再计算出x₂=f（x₁），依次规律继续下去．若集合A={x|0＜x＜1}，f(x)=

mx

m+1-x

(m∈N*)
（Ⅰ）求证：x∈A时，f（x）∈A．
（Ⅱ）求证：对任意x₀∈A，此数列发生器都可以产生一个无穷数列去{x_n}
（Ⅲ）若x0=

1

2

，记an=

1

xn

（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当x∈A，即0＜x＜1时，由m∈N^*，知m+1-x＞0．所以f(x)= 

mx

m+1-x

＞0，由

mx

m+1-x

-1=

(m+1)(x-1)

m+1-x

＜0，能够证明f（x）∈A．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意x₀∈A，有x₁=f（x₀）∈A，由x₁∈A，可得x₂=f（x₁）∈A，由x₂∈A，可得x₃=f（x₂）∈A，
依此规律继续下去，此数列发生器都可以产生一个无穷数列{x_n}．
（Ⅲ）由xn+1=f(xn) =

mxn

m+1-xn

(m∈N*)，得

1

xn+1

=

m+1

m

•

1

xn

- 

1

m

．所以an+1-1=

m+1

m

(an-1)，因为a1-1=

1

x1

-1=

m+1-x0

mx0

-1=

m+1

m

≠0，所以{a_n-1}是首项为

m-1

m

，公比为

m+1

m

的等比数列．由此能求出数列{a_n}的通项公式．

解答：（Ⅰ）证明：当x∈A，即0＜x＜1时，
∵m∈N^*，
∴m+1-x＞0．
∴f(x)= 

mx

m+1-x

＞0，
∵

mx

m+1-x

-1=

(m+1)(x-1)

m+1-x

＜0，
∴f(x)=

mx

m+1-x

＜1，
∴f（x）∈A．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，对任意x₀∈A，有x₁=f（x₀）∈A，
由x₁∈A，可得x₂=f（x₁）∈A，
由x₂∈A，可得x₃=f（x₂）∈A，
依此规律继续下去，此数列发生器都可以产生一个无穷数列{x_n}．
（Ⅲ）解：由xn+1=f(xn) =

mxn

m+1-xn

(m∈N*)，
可得

1

xn+1

=

m+1

m

•

1

xn

- 

1

m

．
∴an+1=

1

xn+1

=

m+1

m

•an-

1

m

，
即an+1-1=

m+1

m

(an-1)，
∵a1-1=

1

x1

-1=

m+1-x0

mx0

-1=

m+1

m

≠0，
∴{a_n-1}是首项为

m-1

m

，公比为

m+1

m

的等比数列．
∴an-1=(

m+1

2m

)n，
∴an=(

m+1

m

)n+1．

点评：本题首先考查数列与函数的综合运用，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意构造法的合理运用．