Question

已知关于x的函数f(x)=

ax-a

ex

(a≠0)
（Ⅰ）当a=-1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）+1没有零点，求实数a取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a=-1时，求函数f（x）的导数，利用导数判定f（x）的单调性与极值并求出；
（Ⅱ）求F（x）的导数，利用导数判定F（x）的单调性与极值，从而确定使F（x）没有零点时a的取值．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

-aex(x-2)

(ex)2

=

-a(x-2)

ex

，x∈R．
当a=-1时，f（x），f'（x）的情况如下表：

x	（-∞，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

所以，当a=-1时，函数f（x）的极小值为-e^-2．
（Ⅱ）F′(x)=f′(x)=

-a(x-2)

ex

．
①当a＜0时，F（x），F'（x）的情况如下表：

x	（-∞，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

因为F（1）=1＞0，
若使函数F（x）没有零点，需且仅需F(2)=

a

e2

+1＞0，解得a＞-e²，
所以此时-e²＜a＜0；
②当a＞0时，F（x），F'（x）的情况如下表：

x	（-∞，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	极大值	↘

因为F（2）＞F（1）＞0，且F(1-

10

a

)=

e1- 10 a -10

e1- 10 a

＜

e-10

e1- 10 a

＜0，
所以此时函数F（x）总存在零点．
综上所述，所求实数a的取值范围是{a|-e²＜a＜0}．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值情况，以及根据函数的单调性和极值讨论函数的零点问题，是易错题．