Question

若函数= x³-ax²+(a-1)x+1在区间（1,4）内为减函数，在区间（6，＋∞）上为增函数，试求实数a的取值范围.

Answer 1

解：函数的导数=x²-ax+a-1.

令=0,解得x=1或x=a-1.

当a-1≤1，即a≤2时，函数在(1,+∞)上为增函数，不合题意.

当a-1>1,即a>2时，函数在(-∞,1)上为增函数，在(1,a-1)内为减函数，在(a-1,+∞)上为增函数.

依题意应有

当x∈(1,4)时，<0;

当x∈(6,+∞)时，>0.?

所以4≤a-1≤6,解得5≤a≤7.

所以a的取值范围是［5,7］.

点评：本题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数单调性的基本方法,考查综合运用数学知识解决问题的能力.