Question

若P为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1上异于长轴端点的任意一点，F₁，F₂是椭圆的焦点，∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β，求

a-b

a+b

的值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据∠PF₁F₂和∠PF₁F₂求得∠F₁PF₂，进而根据正弦定理分别求得|PF₁|和|PF₂|，代入|PF₁|+|PF₂|=2a中求得a和c的关系，求得

b

a

=

1- cos2 α+β 2 cos2 α-β 2

，即可得出结论．

解答： 解：设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
∵∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β，
∴∠F₁PF₂=180°-α-β
∴sin∠F₁PF₂=sin（α+β）
由正弦定理可得

m

sinβ

=

2c

sin(α+β)

，

n

sinα

=

2c

sin(α+β)

∴m=

2csinβ

sin(α+β)

，n=

2csinα

sin(α+β)

根据椭圆的定义可知m+n=2a，
∴

c

a

=

cos α+β 2

cos α-β 2

，
∴

b

a

=

1- cos2 α+β 2 cos2 α-β 2

∴

a-b

a+b

=

1- 1- cos2 α+β 2 cos2 α-β 2

1+ 1- cos2 α+β 2 cos2 α-β 2

．

点评：本题主要考查了椭圆的应用及解三角形问题．解题的关键是充分利用椭圆的定义，找到三角形三边的关系，进而通过正弦定理和余弦定理转化成三角函数的化简．